オイラーの定理と三角関数加法定理の覚え方

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はじめに

高校数学では取り上げませんが、複素数分野において基礎・応用いずれにおいても重要なのが、オイラーの定理です。

利用価値

数学II で習う三角関数の加法定理は、以下の通りです(tan の式は下式から求められます)。数ある数学の公式の中でも、覚えにくいものの一つと思われます。

受験分野では語呂合わせで覚えさせることが多いのですが、特に理系の皆様は、オイラーの法則を用いて導出出来るようになることをお勧めします。

以下、いずれも複号同順です。

オイラーの定理より、

指数法則より、

$e^{i(α+β)} = e^{iα} e^{iβ} \\ = (cos α + i sin α) × (cos β + i sin β) \\ = (cos α cos β - sin α sin β) + i (sin α cos β + sin β cos α)$ … (4)

(3) と (4) の左辺(± の + の方) は一致するので、それぞれの実部と虚部を比較して、

cos (α+β) = cos α cos β - sin α sin β
sin (α+β) = sin α cos β + sin β cos α

sin(−β) = −sin β, cos(−β) = cos β を使うことで、cos (α-β), sin (α-β) も求めることが出来ます。

数学III で扱うド・モアブルの定理に関しても、指数法則と組み合わせることで、簡単に導出することが出来ます。

オイラーの定理の証明はテイラー展開を用いることが多いため、大学入試において、加法定理を証明する手段としては使えません。テイラー展開には三角関数の導関数が必要であり、導関数の導出には加法定理が必須であることが、その理由です。